Représentation paramétrique d'une droite

 Propriété

Dans un repère  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace, soit \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\) un point et  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) un vecteur non nul.
On considère la droite \(d\) de l'espace passant par \(\text A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) .
Un point  \(\text M(x~;~y~;~z)\)  appartient à la droite  \(d\) si et seulement s'il existe un réel  \(t\)  tel que  \(\begin{cases} x=x_\text A+ta \\ y=y_\text A+tb\\ z=z_\text A+tc \end{cases}\) .

Démonstration

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.
Une droite \(d\) passant par \(\text A\) et dirigée par un vecteur \(\overrightarrow{u}\) est l'ensemble des points \(\text M\) de l'espace tels que \(\overrightarrow{\text A\text M}=t\overrightarrow{u}\) , avec \(t\in\mathbb R\) .

Dans un repère  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) , on note  \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\)  et   \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}\) .
Soit  \(d\)   la droite passant par \(\text A\) et dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u}\) .
Un point  \(\text M(x~;~y~;~z)\)  appartient à la droite  \(d\) si et seulement s'il existe un réel  \(t\)  tel que  \(\overrightarrow{\text A\text M}=t\overrightarrow{u}\) si et seulement   s'il existe un réel  \(t\)  tel que  \(\begin{cases} x-x_\text A=ta \\ y-y_\text A=tb\\ z-z_\text A=tc \end{cases}\)
ce qui équivaut à \(\begin{cases} x=x_\text A+ta \\ y=y_\text A+tb\\ z=z_\text A+tc \end{cases}\) .

Définition

Soit \(x_\text A, y_\text A, z_\text A\) , \(a,b,c\) des réels tels que \((a~;~b~;~c) \neq (0~;~0~;~0)\) .
Le système d'équations \(\begin{cases} x=x_\text A+ta \\ y=y_\text A+tb\\ z=z_\text A+tc \end{cases}\) , avec \(t\in\mathbb R\) , est appelé représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}\) .

Remarques

• Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.
• Lorsqu'on écrit les représentations paramétriques de plusieurs droites, on utilise des paramètres différents :  \(t\) ,  \(s\) ,  \(k\) , etc.